《连续函数的性质》内容小结与参考课件

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1、连续函数的运算法则与初等函数的连续性

●基本初等函数在定义区间内连续

●连续函数的四则运算的结果连续

●连续函数的反函数连续

●连续函数的复合函数连续

●所以初等函数在定义区间内连续

2、有界闭区间上连续函数的性质

在探索求解问题的过程中，只要看到或者推导出闭区间上连续函数这样的描述，应该要在草稿纸上马上写下，或者脑海中马上能够浮出如下结论：

●有界性定理：有界闭区间上连续的函数是有界的

●最值定理：有界闭区间上连续的函数是能够取到最大值与最小值的；在闭区间上至少存在一点使得函数取到最小值，也至少存在一点使得函数取到最大值

●介值定理：位于有界闭区间上连续函数最小值与最大值之间的任何值，在闭区间上至少存在一点使得函数值就等于该值

●零值(零点)定理：如果闭区间两个端点的函数值异号，则在闭区间内至少存在一点使得函数值等于0

●如果x₁, x₂,…，x_n∈[a,b]，f(x)在[a,b]上连续，M是函数f(x)在该区间上的最大值，m是函数f(x)在该区间上的最小值，则 

3、借助零点定理证明中值等式的基本思路

借助零点定理（介值定理）可以证明方程根的存在性，或者函数零点的存在性，其一般思路为：

(1)变换需要验证等式为简单形式；

(2)将所有项移到等式一侧，一般移到左侧，右侧为0；

(3)令左侧的中值符号为变量x，则令其为辅助函数F(x)；

(4)针对讨论的闭区间，或者依据已知条件构造合适的闭区间[a,b]，在闭区间上探讨F(x)的连续性和F(a)F(b)的符号；

(5)如果乘积等于0，则中值即为端点值，结论成立；如果乘积小于0，则区间内存在零点，结论成立。

(6)改写得到的辅助函数零值等式，得到需要验证结论。

其中前三步是关键，合适的辅助函数是成功证明的关键！如果依据构建的辅助函数不成功，则重复以上步骤，重新考虑辅助函数的构建！

参考课件节选：

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